Как найти радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник — доказательство и шаги решения

Прямоугольный треугольник – это особый вид треугольника, у которого один из углов равен 90 градусам. Математические свойства такого треугольника позволяют решать различные задачи, в том числе находить радиус вписанной окружности. В данной статье мы рассмотрим доказательство формулы для вычисления радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.

Радиус вписанной окружности – это отрезок, проведенный от центра окружности до любой из ее точек, которая лежит на стороне треугольника. Этот радиус является одним из важных понятий, используемых в геометрии. При решении задач с треугольниками, его значение может быть неизвестным. Для его нахождения существует несколько способов, один из которых мы рассмотрим в данной статье.

Доказательство формулы для нахождения радиуса вписанной окружности в прямоугольном треугольнике основано на теореме, которая связывает радиус вписанной окружности с площадью треугольника. Согласно этой теореме, радиус можно найти, зная длины сторон треугольника и его площадь.

Доказательство радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник

Обозначим радиус вписанной окружности как r.

Используем следующие факты о вписанной окружности:

1. Определение: вписанная окружность касается каждой стороны треугольника только в одной точке.
2. Закон косинусов: в прямоугольном треугольнике ACB сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы (AC^2 + BC^2 = AB^2).
3. Формула площади треугольника: площадь треугольника ABC равна полупроизведению длин его сторон и радиуса вписанной окружности (S = (AB * AC * BC) / (4 * r)).

Теперь приступим к доказательству:

1. Проведем перпендикуляр из центра O к стороне AB. Обозначим точку пересечения как D.
2. Так как вписанная окружность касается стороны AB только в одной точке, то OD — радиус вписанной окружности, то есть OD = r.
3. Треугольник ODA является прямоугольным, так как прямой угол ADO образован перпендикуляром OD к стороне AB.
4. Так как AD — катет, то по теореме Пифагора: OD^2 + AD^2 = OA^2.
5. Задача сводится к выражению AD через стороны треугольника ABC.
6. Используем закон косинусов для треугольника ACB: AC^2 + BC^2 = AB^2 => BC^2 = AB^2 — AC^2.
7. Подставим BC^2 в уравнение площади треугольника ABC: S = (AB * AC * BC) / (4 * r).
8. Выразим AC через AD, AB и BC: AC = AD + CD = AD + BD = AD + BC.
9. Заменим BC в уравнении площади треугольника: S = (AB * (AD + BC) * BC) / (4 * r).
10. Раскроем скобки и упростим выражение: S = (AB * AD * BC + AB * BC^2) / (4 * r).
11. Подставим BC^2 из закона косинусов: S = (AB * AD * BC + AB * (AB^2 — AC^2)) / (4 * r).
12. Упростим выражение: S = (AB * AD * BC + AB^3 — AB * AC^2) / (4 * r).
13. Выразим BC через AD, AB и AC: BC = AC — AB = AD + BC — AB => BC = AD — AB + AC.
14. Подставим BC в уравнение площади треугольника: S = (AB * AD * (AD — AB + AC) + AB^3 — AB * AC^2) / (4 * r).
15. Раскроем скобки и упростим выражение: S = (AB^2 * AD — AB^2 * AB + AB * AD * AC + AB^3 — AB * AC^2) / (4 * r).
16. Упростим выражение: S = (AB^2 * AD — AB^3 + AB * AD * AC + AB^3 — AB * AC^2) / (4 * r).
17. Упростим еще раз: S = (AB * AD * AC — AB * AC^2) / (4 * r).
18. Сократим AB, приведя уравнение к виду: S = AD * AC / (4 * r).

Осталось сравнить полученное выражение для площади треугольника ABC с формулой площади треугольника через его радиус вписанной окружности:

S = (AB * AC) / 2 = (AD * AC) / 2.

Отсюда получаем, что (AD * AC) / (4 * r) = (AD * AC) / 2, и после сокращения на AD * AC, получаем:

1 / (4 * r) = 1 / 2.

Отсюда следует, что r = 1 / 2, что и требовалось доказать.

Определение радиуса вписанной окружности

Радиус вписанной окружности можно определить с помощью формулы, которая связывает радиус окружности с площадью треугольника и его полупериметром:

Площадь треугольника можно вычислить по формуле Герона:

где p – полупериметр треугольника, a, b, c – длины сторон треугольника.

Таким образом, чтобы найти радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник, необходимо вычислить полупериметр треугольника и его площадь по формулам, а затем подставить значения в формулу для радиуса окружности.

Доказательство сформулированной теоремы:

Опустим из вершин A, B и C перпендикуляры на противоположные стороны. Эти перпендикуляры пересекаются в точке O, которую обозначим как центр вписанной окружности.

Пусть радиус вписанной окружности равен r.

Так как O — центр окружности, то AO, BO и CO являются радиусами окружности и имеют равную длину r.

Заметим, что AO, BO и CO являются высотами, опущенными на гипотенузу AB, а также катеты AC и BC.

Тогда по свойству высоты в прямоугольном треугольнике АOC имеем:

1. AO * OC = CO²
2. AO * r = r²
3. AO = r

Аналогично, можно доказать, что BO = r и CO = r.

Таким образом, AO = BO = CO = r, что и требовалось доказать.